miércoles, 6 de marzo de 2013

ECUACIONES CUADRATICAS


Una ecuación de segundo grado[1] [2] o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos, todos ellos con potencias inferiores a las de un cuadrado, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomino de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:


donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

Fórmula cuadrática


De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

donde el símbolo ± indica que los valores

y

constituyen las dos soluciones.

 Discriminante



Ejemplo del signo del discriminante:
< 0: no posee soluciones reales;
= 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
> 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):


Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

  • Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):1998

.

  • Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):


  • Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):


donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo

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